25학년도 수능 수학 해설(2) - 15, 20, 21, 22번

 안녕하세요. Acquinas입니다.

지난 시간에 이어서 25학년도 수능 수학 해설을 마저 진행해 보도록 하겠습니다. 

손글씨 해설은 지난 포스팅 속 첨부파일을 참고해주시면 감사하겠습니다.

 

2024.11.28 - [서울대생 - 수능, 평가원, 교육청 기출 해설] - 25학년도 수능 수학 해설(1) - 10, 12, 13, 14

25학년도 수능 수학 해설(1) - 10, 12, 13, 14

 

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<25학년도 수능 수학 15번>

 

답) 2번

 

Part.1 미분가능의 정의 

'미분가능'은 'a) 그 점에서 연속이고 b)좌,우 미분계수가 같다'는 조건을 모두 만족함을 의미합니다. 

따라서 이 문제에서는, X=0에서 함숫값이 같아야 하고(a), 미분계수 역시 같아야 합니다(b).

이를 이용하면, f(x)의 식을 간단하게 세울 수 있습니다. 

 

Part.2 (나) 조건 해석

 (나)조건식은 g'(x)에 관한 것이므로, 원함수가 아닌 도함수 차원에서 해석해야 합니다. 

해설에서 1)은 g'(x)=0의 근이 하나이므로, g'(x-4) 역시 하나의 근을 가질 것이어서 '실근의 개수는 4개'에 모순입니다.

3) 역시 g'(x)와 g'(x-4)가 각각 하나의 근을 가져서 모순입니다.

 2-a)는 a=3 루트 5 일 경우, 조건을 만족하지만, 문제에서 a는 3 루트 5가 아니라고 하였으므로 모순입니다.

따라서, 2-b)의 경우만이 답이 되고, 세 근이 서로 4씩 차이가 나면 되겠습니다. 

 

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<25학년도 수능 수학 20번>

답) 36

 

Part 1. 이해가 안 갈 때에는 적당한 수들을 대입해본다.

그래프를 대충 그려보면, K는 2와 3 사이의 수임을 알 수 있습니다. 따라서, 3 이상인 수들을 적당히 대입해 보며 f(f(x))=3x를 이해해 보려는 시도를 해보실 것을 추천드립니다. 즉, x=3,4,5,,, 이렇게 대입한 결괏값들을 찾아보시면, 적당한 규칙을 발견하실 수 있을 겁니다. f(f(n)) = f(5^-n+3) = 3n 임을 알 수 있습니다.

 

Part 2. K의 의미 생각해 보기

 K는 두 함수의 교점이므로, (5)^-k+3 = K를 만족해야 합니다. 

이를 이용하면, f(K^-3 * 5^-3K)에서 (k)^-3 대신에, (5)^3k-9를 대입할 수 있습니다. 

 

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<25학년도 수능 수학 21번>

답) 16

 

Part 1. Lim 함수/함수의 값이 존재하려면

다른 지점에서는 중요하지 않고, 분모 = 0이 되는 지점이 중요합니다. 분모 = 0 이면, 무한으로 가버리기 때문에, 함수/함수의 값이 존재하려면 분자 역시 0이 되어서 상쇄해줘야 합니다. 따라서, 이런 문제의 key는 근이 되는 것이죠.

 

Part 2. 근의 개수를 기준으로 케이스 나누기

f(x)의 근이 1개/2개/3개일 때를 기준으로 케이스를 나눠볼 수 있습니다. 1)과 2)는 불가능하고, 3)만 가능한데, 이마저도 가능하려면 t와 2t+1이 동일해야 합니다. 따라서, t=-1 임을 알 수 있습니다. 

 

Part 3. x=-1 하나의 근만을 가지기 위한 조건 

x=-1에서 오직 하나의 근만을 가지려면, a) x=-1에서 삼중근을 가지거나 b) x=-1에서 한 근을 갖고, 두 허근을 가질 수도 있습니다. b)를 생각 못해서 틀리신 분들이 꽤 있을 것 같다는 생각이 듭니다.

따라서, f(x)를 먼저 (x+1)로 뽑아낸 다음, 나머지 이 차 항에서 판별식 <= 0을 이용하시면 되겠습니다. 

(* 첨부해 드린 손글씨 해설에서는 판별식 < 0으로 적어놓았는데, 이게 잘못된 거고 <= 0이 맞습니다.)

 

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<25학년도 수능 수학 22번>

답) 64

 

 이미 6평, 9평 모두에서 22번으로 나온 유형이기 때문에, 당연히 나올 거라 예측이 가능했고 따라서 대응도 가능했을 거라 생각하는 문항입니다. 

 그냥 차분히 모든 항을 하나씩 적어나가시면 되겠습니다. (나) 조건을 통해 3+2 =5 즉, a5까지만 적으면 되겠다는 범위를 잡아가실 수 있습니다. 결국, a1~a5까지만 적으면 되는 건데 앞에서부터 시작할지, 뒤에서부터 시작할지는 조금 고민이 필요하겠지만, 저는 일단 뒤에서부터 시작했습니다. 그 이유는, 6평/9평 모두에서 뒤부터 시작할 때 더 빨리 풀렸기 때문입니다. 자세한 풀이는 손글씨 참조 부탁드리겠습니다. 

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 이상으로, 2025학년도 수능 수학 공통부분 중요 문항에 대한 해설을 맞췄습니다. 공교롭게도 오늘이 수능 성적 발표일인데 올해 시험 보신 모든 분들이 기대를 상회하는 성적을 받으셨으면 하는 마음입니다.

저는 더 좋은 포스팅으로 다시 인사드리겠습니다. 다들 정말 고생하셨습니다.