24학년도 수능 수학 해설 - 서울대생의 '어떻게 접근해야만 할까'

24학년도 수능 수학 15번 해설.pdf

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24학년도 수능 - 공통 객관식 손글씨 헤설.pdf

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<인삿말> 

 안녕하세요, Acquinas입니다. 

오늘은 24학년도 수능 수학 공통부분의 1~15번에 해당하는 객관식을 해설해보려고 합니다.

지난 포스팅에서 언급해드렸던 것처럼, 손글씨 해설을 같이 첨부해 드렸고, 제가 생각하기에 코멘트를 달 만한 문항들에 대해서 부차 설명을 하고자 합니다. 첨부 파일 속 문제 해설 중, 노란색으로 별표 친 부분들을 좀 더 상세히 해설하고자 합니다. 손글씨 해설 다운로드하여서 같이 보시면서 따라오시면 될 것 같습니다. 

 

 과외하면서 또, 유명 입시학원에서 질문답변 조교로 활동해오면서 많은 학생들을 가르쳐왔습니다. 수학 성적이 좋은 친구들도 있었고, 안 좋은 친구들도 있었습니다. 제가 느낀 그 두 부류의 결정적인 차이는 바로  '문제의 각 부분에 대한 확실한 체화' 여부인 것 같습니다. 어려운 문제들은 쉬운 문제 2~4개가 섞여 있는 형태입니다. 따라서, 쉬운 유형의 문제에 대한 확실한 체화가 되어 있지 않으면 당연히 어려운 문제를 틀릴 가능성이 높아지게 됩니다. 

 예를 들어 보겠습니다. 20번 정도 난이도의 문제는, 그 부분을 쪼개보면 쉬운 3점짜리 요소가 3개 정도 쓰인다고 할 수 있습니다. 그런데, 이 3점짜리 문제에 대한 숙련도가 80%에 불과하다면 어떻게 될까요? 단순하게 계산해 보면, 20번을 맞출 확률은 (0.8)^3 = 0.512가 되게 됩니다. 즉 50% 정도밖에 안 된다는 것이죠. 따라서, 20번, 더 나아가 22번/30번 등 소위 킬러문항들을 잘 풀어내려면, 쉬운 문제들에 대한 완벽한 이해가 필요하다는 의미입니다.

 

 이 글을 쓰는 시점을 기준으로 2025학년도 수능이 58일 남았습니다. 많이 남은 것은 아니지만, 그렇다고 결코 성적을 올리기에 부족한 시간은 아닙니다. 한 번 생각해보죠. 만일, 공부를 열심히 해서 3점짜리에 대한 이해도 및 정답률을 100%로 올리면 어떻게 될까요? 20번을 맞출 확률은 (1.0)^3 = 1이 됩니다. 무조건 맞출 수 있다는 의미가 되죠. 22번은 어떨까요? 22번이라고 달라질까요? 달라지는 것은 하위 부분의 개수가 약간 늘어나는 정도입니다. 그렇다면 하위 부분이 얼마나 되든, 그 부분들에 대한 기본학습이 완벽하다면 22번도 풀 수 있게 됩니다. 물론, 이론적으로 그렇다는 것이지 실제는 다를 거라는 것도 압니다. 하지만, 이론과 실제의 괴리를 줄이는 고민도 수험생이라면 반드시 해야 합니다. 이에 대해서는 나중에 다른 포스팅을 통해 이야기해 보도록 하겠습니다.  

 

 결국, 제가 드리고 싶었던 말씀은, 일단 3점 및 쉬운 4점짜리 문제들을 완벽하게 풀어내는 것을 목표로 삼으시라는 것입니다. 이 숙련도가 올라가면, 어려운 4점짜리 문제들을 하나씩 풀 수 있게 되는 것이 아니라, 어느날 모든 4점짜리 문제가 한꺼번에 다 풀리는 마법 같은 경험을 하게 될 것입니다.

  

 너무 진부한 말이지만, 세상에 불가능한 것은 없고, '나'는 내가 생각하는 대로 되게 됩니다. Big Dream Small Actions. 목표는 높게 잡으시고, 이를 위한 작은 걸음을 우직히 밟아 나가시면 될 것 같습니다. 다들 파이팅입니다.

 

 이제 바로 시작해 보도록 하겠습니다. 6,7,8번은 지난 포스팅에서 상세히 설명해 놨으니 아래를 참고하시면 될 것 같습니다.

2024.09.17 - [서울대생 - 수능, 평가원, 교육청 기출 해설] - 24학년도 수능 수학 해설(1)

24학년도 수능 수학 해설(1)

 

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<24학년도 수능 수학 10번>

 Part 1. '두 점 사이의 거리'를 구할 수 있는가?

 거리는 절댓값의 측면으로 생각하셔야 합니다. 따라서 P, Q 사이의 거리를 구하려면, ㅣP의 위치 - Q의 위치ㅣ 하면 됩니다. 나중에 적분 단원에서, '점이 움직인 거리'를 구할 때,  속도의 절댓값 함수를 적분해야 하는 것도 이런 이유 때문입니다.

  

 Part 2. '함수의 증가/감소'를 수학적으로 어떻게 해석해야 할까?

 하나 짧은 팁을 드리면, 글로 적힌 수학적 개념을 가급적이면 수식이나 조건식 등 수학적 용어로 해석하는 연습을 많이 하는 것이 좋습니다. '함수의 증가/감소'라는 개념은 도함수의 부호와 관련이 있습니다. 도함수의 부호가 +인 구간에서는 원함수가 증가하고, -인 구간에서는 감소하게 됩니다. 따라서 '함수의 증가/감소'를 판별하시려면, 일단 미분을 해서 도함수를 구하시고 부호를 잘 살펴봐야 하는 겁니다. 이 개념은 정말 자주 쓰이니, 몸이 기계적으로 반응할 수 있도록 많이 연습해 둡시다.

 

Part 3. '움직인 거리'에 대한 해석

 앞서 Part 1에서 말씀드린 부분이 여기서 쓰였습니다. '움직인 거리'를 구하려면, 속도의 절댓값 함수를 적분해야 합니다. 

반면, 그냥 속도를 적분하면 위치가 됩니다.

 또한, 적분은 면적을 구하기 위한 것인데, 이 문제처럼 일차함수를 적분하면 사실상 삼각형이나 사다리꼴의 넓이를 구하는 형태가 됩니다. 삼각형이나 사다리꼴 정도는 적분을 활용해서 계산하는 것보다, 그냥 바로 계산하는 게 더 빠를 수도 있으므로 그때그때 상황 봐가면서 판단하시면 될 것 같습니다. 물론, 초보 단계에서는 두 가지 관점으로 다 구해보시는 연습을 해보시는 것을 추천드립니다. 사용할 줄 아는 관점이 많아질수록, 사고력이 확장되게 됩니다.

 

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<24학년도 수능 수학 11번>

Part 1. 등차수열은 일차함수이다.

 등차수열은 an = 3n-2 이런 형태이므로, 일차함수가 됩니다. 이 문제에서 ㅣa6ㅣ = a8인데, 일차함수에서 x=6일 때와 x=8일 때 함숫값이 동일할 수는 없으므로, 둘은 부호는 다르고 절댓값은 같다는 것을 알 수 있습니다. -2/2처럼 말이죠. 게다가, a8는 무조건 양수여야 하므로 a6은 음수일 것이고, 이를 통해, an의 일차함수는 기울기가 양수임을 알 수 있으며, 6과 8의 중간인 x=7에서 함숫값 0을 가질 것입니다.

 

Part 2. 부분분수 쪼개기

 수학도 어느 정도 암기가 필요합니다. '문제 풀이'를 단순히 암기하는 것이 아니라, 내가 막혔던 '아이디어'에 대한 암기가 필요합니다. 머릿속에 데이터가 많을수록 성적은 더 올라가기 마련이니까요.

 부분분수로 쪼개서 푸는 것은 이미 기출에 많이 등장해서 익숙하겠지만, 만약 이 문제를 처음 접하고 어떻게 푸는지 감이 안 오셨다면, '부분분수로 쪼개자'라는 아이디어를 외우셔야 한다고 말씀드리고 싶습니다. 외우셨으면, 다른 기출 찾아서 풀어보시면 될 것 같습니다. 아래 문제를 통해서 연습해 보셔도 됩니다.

22학년도 9평 7번 - 답) 4

 

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<24학년도 수능 수학 12번>

Part 1. -(x-t) + f(t) 해석

일단 이 식은 일차함수입니다. 기울기는 -1이고, (t, f(t))를 지납니다. 아마 역과정이 좀 더 익숙하실 겁니다. 예를 들어 (3.5)를 지나고 기울기가 -2인 직선의 방정식은 y = -2(x-3) + 5가 됩니다. 그러면, 거꾸로 주어진 식을 보고 기울기가 얼마인지, 어느 점을 지나는지 찾아내는 연습도 익숙해질 때까지 연습하셔야 합니다.

 

Part 2. 아이디어 암기 - 둘러싸인 영역이 최대가 되려면

이 부분에 대한 접근은 어느 정도 암기가 필요합니다. 물론, 천천히 따져가면, 그리 오래 걸리지 않아 '접할 때' 최대가 됨을 알 수 있을 것입니다. 하지만, 수능은 '끼워 맞추기' 성향이 강해서, 일단 뻔한 자리에서 그렇게 되지 않을까라고 의심을 하시고, 그 근거를 찾아서 확인해 주는 방식이 시간이 훨씬 절약됩니다. 아래 문제에서도, 언제 최소가 될지 먼저 직관적으로 찾아보시면 좋을 것 같습니다. 이해가 잘 안 가시거나 궁금하신 점 있으시면 댓글 달아주세요.

18학년도 9평 30번

 

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<24학년도 수능 수학 14번>

Part 1. 케이스 쪼개기

이 문제를 처음 보면, 일단 f(x)를 그려야겠다는 생각이 들면 좋습니다. 2보다 작은 구간에서는 확실히 그릴 수 있지만, 문제는 2보다 큰 구간입니다. a, b 둘 다 모르니 정확히 못 그리므로 케이스를 쪼개서 그려야 합니다. 일단, a는 자연수이므로 아래로 볼록한 이차함수의 일부가 될 것은 명확하지만, b는 정확히 모르니 b를 기준으로 케이스를 쪼개보도록 하겠습니다.

a(x-2)(x-b) + 9는 y=9와 x = 2, b에서 만나므로, b <2 / b=2 / b>2 일 때 이렇게 3가지 케이스로 나누셔야 합니다. 간혹,  b=2일 때를 빼먹는 분도 계시는데 주의하셔야 합니다. 

 

Part 2. 순서쌍 구하기

문제를 다 정리해 보면, 결국 남는 조건식은 a(b-2)^2 = 48 뿐입니다. 모르는 문자가 a/b 2개인데, 조건식이 하나이므로 못 구하는 거 아니야 이러실 수도 있는데, 'a/b 는 자연수'라는 조건까지 활용하면 이런 부정방정식은 풀 수 있습니다. 물론 여러 개가 나오겠지만 말이죠. 이런 여러 개의 순서쌍을 찾을 때는, (b-2)^2를 기준으로 찾아나가시는 것을 추천드립니다. 숫자가 더 빨리 커져서 훨씬 적은 경우만 고려하면 되기 때문입니다.

 

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<24학년도 수능 수학 15번>

Part 1. 수열의 기본은 나열이다.

 수열의 기본은 나열입니다. 잘 이해가 안 가면, 쭉 나열해 보시면 됩니다. 만약 수능에서, 15/21번 중에 이런 형태의 수열 문제가 나온다면, 충분히 맞출 수 있습니다. 킬러 문항이라고 겁먹지 마시고, 한 15분 정도 사용한다 생각하시고 차분히 하나하나 나열해보시면 됩니다. 이런 형태의 문제는 무조건 맞힌다는 독기 정도는 품으셔도 좋을 것 같습니다. 아래 문제를 통해 연습해 보실 것을 권해드립니다.

20학년도 수능 21번 - 답) 4번

 

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 오늘은 24학년도 수능 공통부분 중 객관식 부분에 대한 해설 및 코멘트를 진행했습니다. 나머지 주관식 및 국어 / 영어 영역에 대한 해설도 곧이어 올리도록 하겠습니다. 

 

 감사합니다.